Considere um processo estacionário AR (2) dado por X - X 0.25X 5 a onde um sim WN (0,1) (ruído branco). Estou interessado em obter a representação causal do que é, representando X displaystylesum psi a (ou seja, processo MA (infty)). Isso é garantido pela suposição de estacionariedade. Eu quero determinar psi para j 1,2,3,4,5. Eu posso fazer isso muito facilmente, mas estou sendo jogado fora pela presença do 5 no lado direito. Eu ignoro isso ou respondo de alguma maneira? Jul 21 14 às 19: 33Movendo a representação média das aproximações autorregressivas Estudamos as propriedades de uma representação (infin) de MA de uma aproximação autorregressiva para uma aproximação estacionária, real-valorizada. processo. Ao fazer isso, damos uma extensão do teorema de Wiener na configuração de aproximação determinística. Ao lidar com dados, podemos usar esse novo resultado de chave para obter informações sobre a estrutura de representações (infin) de MA de modelos autorregressivos ajustados, nos quais a ordem aumenta com o tamanho da amostra. Em particular, damos um limite uniforme para estimar os coeficientes médios móveis via aproximação autorregressiva sendo uniforme sobre todos os inteiros. AR (infin) Causal Análise complexa Função de resposta ao impulso Invertível Processo linear MA (infin) Mistura Séries temporais Função de transferência Processo estacionário Referências Autocorrelação, autorregressão e aproximação autoregressiva Ann. Estatista 10 (1982), pp. 926x2013936 Corr: Autocorrelação, autorregressão e aproximação autoregressiva Ann. Estatista 11 (1982), p. 1018 Estimativas espectrais autorregressivas consistentes Ann. Estatista 2 (1974), pp. 489x2013502 Estimativa da representação da média móvel de um processo estacionário por ajuste de modelo autorregressivo J. Time Series Anal. 10 (1989), pp. 215x2013232 Estimativa auto-regressiva do erro quadrico mio de previs e uma medida de R2: uma aplicao D. Brillinger, P. Caines, J. Geweke, E. Parzen, M. Rosenblatt, M. S. Taqqu (Eds.), Novas Direções na Análise de Séries Temporais, Springer, New York (1992), pp. 9x201324 Parte I Teoremas da propriedade de mistura e do limite central funcional para um bootstrap de peneira em séries temporais Tech. Rep. 440Dept. de Estatística, UC Berkeley, Berkeley, CA (1995) Análise e Teoria de Dados, Holt, Rinehart e Winston, Nova Iorque (1975) Séries Temporais: Teoria e Métodos Springer, Nova Iorque (1987) Chumbo bootstrap para séries temporais Tech. Rep. 431Dept. de Estatística, UC Berkeley, Berkeley, CA (1995) A Teoria Estatística de Sistemas Lineares Wiley, New York (1988) Propriedades e Exemplos, Notas de Aula em Estatística, vol. 85. Springer, New York (1994) A montagem de modelos de séries temporais Rev. Internat. Estatista Inst. 28 (1960), pp. 233x2013244 Métodos bootstrap: outro olhar para o canivete Ann. Estatista 7 (1979), pp. 1x201326 Anéis normativos comutativos Chelsea, New York (1964) Aproximação da função de transferência racional Stat. Sci. 5 (1987), pp. 105x2013138 Regressão, modelos de autorregressão J. Time Series Anal. 7 (1986), pp. 27x201349 Inferência estatística assintótica para uma classe de processos estocásticos Habilitationsschrift, Universitaumlt Hamburg, Hamburg, Germany (1988) Propriedades assintóticas do estimador espectral autoregressivo Ph. D. thesisDept. Statistics, Stanford University, Stanford, CA (1970) Predição de séries temporais multivariadas por ajuste de modelo autorregressivo J. Multivariate Anal. 16 (1985), pp. 393x2013411 Análise de convergência de métodos paramétricos de identificação IEEE Trans. Automático. Controle AC-23 (1978), pp. 770x20137832.1 Modelos de média móvel (modelos MA) Modelos de séries temporais conhecidos como modelos ARIMA podem incluir termos autorregressivos e / ou termos médios móveis. Na semana 1, aprendemos um termo autoregressivo em um modelo de série temporal para a variável x t é um valor defasado de x t. Por exemplo, um termo autorregressivo lag 1 é x t-1 (multiplicado por um coeficiente). Esta lição define os termos da média móvel. Um termo de média móvel em um modelo de série temporal é um erro passado (multiplicado por um coeficiente). Let (wt overset N (0, sigma2w)), significando que wt são idênticos, independentemente distribuídos, cada um com uma distribuição normal tendo média 0 e a mesma variância. O modelo de média móvel de 1ª ordem, denotado por MA (1) é (xt mu wt theta1w) O modelo de média móvel de 2ª ordem, denotado por MA (2) é (xt mu wt theta1w teta2w) O modelo de média móvel de ordem q , indicado por MA (q) é (xt mu wt theta1w theta2w pontos thetaqw) Nota. Muitos livros didáticos e programas de software definem o modelo com sinais negativos antes dos termos. Isso não altera as propriedades teóricas gerais do modelo, embora inverta os sinais algébricos de valores de coeficientes estimados e termos (não-quadrados) em fórmulas para ACFs e variâncias. Você precisa verificar seu software para verificar se sinais positivos ou negativos foram usados para escrever corretamente o modelo estimado. R usa sinais positivos em seu modelo subjacente, como fazemos aqui. Propriedades Teóricas de uma Série Temporal com um Modelo MA (1) Observe que o único valor diferente de zero no ACF teórico é para o atraso 1. Todas as outras autocorrelações são 0. Assim, uma amostra de ACF com uma autocorrelação significativa somente no lag 1 é um indicador de um possível modelo MA (1). Para estudantes interessados, as provas dessas propriedades são um apêndice a este folheto. Exemplo 1 Suponha que um modelo MA (1) seja x t 10 w t .7 w t-1. onde (wet overset N (0,1)). Assim, o coeficiente 1 0,7. O ACF teórico é dado por Um gráfico deste ACF segue. O gráfico que acabamos de mostrar é o ACF teórico para um MA (1) com 1 0,7. Na prática, uma amostra costuma oferecer um padrão tão claro. Usando R, simulamos n valores de 100 amostras usando o modelo xt 10 w t .7 w t-1 onde wt iid N (0,1). Para esta simulação, segue-se um gráfico de série temporal dos dados da amostra. Nós não podemos dizer muito desta trama. A amostra ACF para os dados simulados é a seguinte. Vemos um pico no atraso 1 seguido por valores geralmente não significativos para atrasos 1. Observe que o ACF da amostra não corresponde ao padrão teórico do MA subjacente (1), que é que todas as autocorrelações para atrasos anteriores 1 serão 0 Uma amostra diferente teria uma amostra ACF ligeiramente diferente mostrada abaixo, mas provavelmente teria as mesmas características gerais. Propriedades Teóricas de uma Série Temporal com um Modelo MA (2) Para o modelo MA (2), as propriedades teóricas são as seguintes: Observe que os únicos valores não nulos no ACF teórico são para os lags 1 e 2. As autocorrelações para lags maiores são 0 Assim, uma amostra ACF com autocorrelações significativas nos lags 1 e 2, mas autocorrelações não significativas para lags maiores indica um possível modelo MA (2). iid N (0,1). Os coeficientes são 1 0,5 e 2 0,3. Como este é um MA (2), o ACF teórico terá valores diferentes de zero apenas nos lags 1 e 2. Os valores das duas autocorrelações diferentes de zero são Uma plotagem do ACF teórico a seguir. Como quase sempre é o caso, dados de amostra não se comportarão tão perfeitamente quanto a teoria. Simulamos n valores de 150 amostras para o modelo x t 10 w t 0,5 w t-1 .3 w t-2. Onde está N (0,1). O gráfico da série temporal dos dados segue. Como no gráfico de séries temporais para os dados de amostra MA (1), você não pode dizer muito sobre isso. A amostra ACF para os dados simulados é a seguinte. O padrão é típico para situações em que um modelo MA (2) pode ser útil. Existem dois picos estatisticamente significativos nos lags 1 e 2, seguidos por valores não significativos para outros lags. Note que, devido ao erro de amostragem, a amostra ACF não corresponde exatamente ao padrão teórico. ACF para Modelos Gerais MA (q) Uma propriedade dos modelos MA (q) em geral é que existem autocorrelações diferentes de zero para as primeiras defasagens e autocorrelações 0 para todos os atrasos gt q. Não unicidade de conexão entre valores de 1 e (rho1) no modelo MA (1). No modelo MA (1), para qualquer valor de 1. o recíproco 1/1 fornece o mesmo valor para Como exemplo, use 0,5 para 1. e depois use 1 / (0.5) 2 para 1. Você receberá (rho1) 0,4 em ambos os casos. Para satisfazer uma restrição teórica chamada invertibilidade. restringimos os modelos MA (1) a ter valores com valor absoluto menor que 1. No exemplo dado, 1 0.5 será um valor de parâmetro permitido, enquanto 1 1 / 0.5 2 não. Invertibilidade dos modelos MA Um modelo MA é dito ser invertível se for algebricamente equivalente a um modelo AR de ordem infinita convergente. Convergindo, queremos dizer que os coeficientes de AR diminuem para 0 quando voltamos no tempo. A invertibilidade é uma restrição programada no software de séries temporais usado para estimar os coeficientes de modelos com termos de MA. Não é algo que nós verificamos na análise de dados. Informações adicionais sobre a restrição de invertibilidade para os modelos MA (1) são fornecidas no apêndice. Nota Teoria Avançada. Para um modelo MA (q) com um ACF especificado, existe apenas um modelo invertível. A condição necessária para a invertibilidade é que os coeficientes tenham valores tais que a equação 1- 1 y-. - q y q 0 tem soluções para y que estão fora do círculo unitário. Código R para os Exemplos No Exemplo 1, plotamos o ACF teórico do modelo x t 10 w t. 7w t-1. e então simulou n 150 valores deste modelo e plotou a série temporal da amostra e a amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados para traçar o ACF teórico foram: acfma1ARMAacf (mac (0,7), lag. max10) 10 defasagens de ACF para MA (1) com theta1 0,7 lags0: 10 cria uma variável denominada lags que varia de 0 a 10. plotagem (defasagens, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, tipoh, ACF principal para MA (1) com teta1 0,7) abline (h0) adiciona um eixo horizontal ao gráfico O primeiro comando determina o ACF e o armazena em um objeto chamado acfma1 (nossa escolha de nome). O comando de plotagem (o terceiro comando) traça atrasos em relação aos valores de ACF para os lags de 1 a 10. O parâmetro ylab marca o eixo yeo parâmetro principal coloca um título na plotagem. Para ver os valores numéricos do ACF, simplesmente use o comando acfma1. A simulação e os gráficos foram feitos com os seguintes comandos. xcarima. sim (n150, list (mac (0.7))) Simula n 150 valores de MA (1) xxc10 adiciona 10 para fazer a média 10. A simulação assume como padrão 0. plotagem (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) acf (x, xlimc (1,10), ACF principal para dados de amostras simuladas) No Exemplo 2, plotamos o ACF teórico do modelo xt 10 wt.5 wt-1 .3 w t-2. e então simulou n 150 valores deste modelo e plotou a série temporal da amostra e a amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados foram: acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (defasagens, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal para MA (2) com teta1 0,5, teta20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, lista (mac (0.5, 0.3))) xxc10 plot (x, typeb, principal Sim Simulado (2) Séries) acf (x, xlimc (1,10), mainACF para Dados MA (2) simulados Apêndice: Prova de Propriedades do MA (1) Para estudantes interessados, aqui estão as provas de propriedades teóricas do modelo MA (1). Variação: (texto (xt) texto (mu wt theta1 w) 0 texto (wt) texto (teta1w) sigma2w teta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Quando h1, a expressão anterior 1 w 2. Para qualquer h 2, a expressão anterior 0 A razão é que, por definição de independência do peso. E (wk w j) 0 para qualquer k j. Além disso, porque o w tem média 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Para uma série temporal, aplique esse resultado para obter o ACF fornecido acima. Um modelo MA invertível é aquele que pode ser escrito como um modelo AR de ordem infinita que converge para que os coeficientes AR converjam para 0 à medida que nos movemos infinitamente de volta no tempo. Bem demonstre invertibilidade para o modelo MA (1). Substituímos então a relação (2) para wt-1 na equação (1) (3) (zt wt theta1 (z-teta1w) wt teta1z-teta2w) No tempo t-2. a equação (2) se torna Nós então substituímos a relação (4) para w t-2 na equação (3) (zt wt theta1 z-teta1w wt teta1z-teta21 (z-teta1w) wt teta1z-teta12z teta31w) Se continuarmos ( infinitamente), obteríamos o modelo AR de ordem infinita (zt wt theta1z - theta21z theta31z - theta41z dots) Note, no entanto, que se 1 1, os coeficientes multiplicando os lags de z aumentarão (infinitamente) em tamanho à medida que voltarmos Tempo. Para evitar isso, precisamos de 1 lt1. Esta é a condição para um modelo MA invertível (1). Na semana 3, veremos que um modelo AR (1) pode ser convertido em um modelo MA de ordem infinita: (xt - mu wt phi1w phi21w pontos phik1 w pontos soma phij1w) Este somatório dos termos de ruído branco passado é conhecido como a representação causal de um AR (1). Em outras palavras, x t é um tipo especial de MA com um número infinito de termos voltando no tempo. Isso é chamado de ordem infinita MA ou MA (). Uma ordem finita MA é uma ordem infinita AR e qualquer ordem finita AR é uma ordem infinita MA. Lembre-se na semana 1, notamos que um requisito para um AR estacionário (1) é aquele 1 lt1. Vamos calcular o Var (x t) usando a representação causal. Esta última etapa usa um fato básico sobre séries geométricas que requer (phi1lt1), caso contrário a série diverge. Navegação
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